Matemáticas y fútbol

[Shin Jung Hyun]

Pues eso, como ayudan las matemáticas al fútbol:

Tan sólo me limitaré a exponer las fórmulas, las deducciones las hice aparte.


Si n equipos jugarán todos contra todos

1.- Ã,¿Cuántos partidos se jugarían?

Para hallar el número de partidos ââ,¬Å"todos contra todosââ,¬Â se usa la fórmula:

p= (n)*(n-1) / 2

Donde p es igual al número de partidos y n es igual al número de equipos.

2.- Ã,¿Cuántos puntos podrían sumarse en total entre los obtenidos por todos los equipos?

Los puntos a obtener estarían dentro del siguiente rango:

De (2*p), ((2*p) + 1), ((2*p)+2),ââ,¬Â¦, (3*p) puntos.

Donde p es igual al número de partidos que se disputan.

3.- Ã,¿Cuántas tablas de posiciones diferentes podrían obtenerse considerando sólo las posiciones relativas de los equipos?

t= 1*2*3*ââ,¬Â¦*n, es decir  el factorial de n.

Donde t es igual al número de tablas de posiciones a obtener y n es igual al número de equipos.

4.- Ã,¿Cuántas combinaciones  de resultados (considerando todos los partidos) podrían darse?

c= 3 ^ p

Donde  c es igual al número de combinaciones de resultados posibles y p es el número de partidos.

También podría agregar otras preguntas:

5.- Considerando el conjunto de n equipos, Ã,¿cuántos partidos disputará cada equipo?

pde = n -1

Donde pde es igual al número de partidos disputados por cada equipo y n es igual al número de equipos.

6.- Tras disputarse los p partidos, Ã,¿cuántas combinaciones de puntuaciones totales se obtendrían para cada equipo?

ce = 3 * pde

Donde ce es igual al número de combinaciones de puntuaciones totales por equipo y pde es igual al número de partidos que disputa cada equipo.

7.- Ã,¿Cuál sería el puntaje total que NUNCA acumularía un equipos tras disputar sus pde partidos?

El puntaje que NUNCA acumularía un equipo sería:

pn = (3 * pde) ââ,¬â€œ 1

Donde pn es igual al puntaje que NUNCA acumularía un equipo y pde es igual al número de partidos que disputa cada equipo.

8.- Tomando como referencia la pregunta anterior, Ã,¿Cuáles serían entonces las diversas opciones de puntuación para cada equipo?

Las opciones serían:

(3 * pde), ((3 * pde) ââ,¬â€œ 2), ((3 * pde) ââ,¬â€œ 3),ââ,¬Â¦, ((3 * pde) ââ,¬â€œ (3 * pde))

9.- Ã,¿Cuál sería el número de puntos con los que quedarían empatados los n equipos?

Hay 2 opciones de empate entre los n equipos:

pee = n  y  pee2 = n ââ,¬â€œ 1

Donde pee es igual al número puntos con los que empatan los equipos y n es igual al número de equipos.

pee2 es la otra opción de empate de puntos de los equipos y n es igual al número de equipos.

EJEMPLO DE APLICACIÓN:

Se tiene un conjunto de 3 equipos: A, B y C.

1.- Ã,¿Cuántos partidos se jugarían?

Aplicando la fórmula p= (n)*(n-1) / 2, se tiene: p= (3)*(3-1) / 2 = (3)*(2) / 2= 6 / 2 = 3.

Se jugarían 3 partidos.
Estos serían:

A VS B,   A VS C,   A VS B

2.- Ã,¿Cuántos puntos podrían sumarse en total entre los obtenidos por todos los equipos?

Aplicando la fórmula: (2*p), ((2*p) + 1), ((2*p)+2),ââ,¬Â¦, (3*p), sería entonces:

(2*3), ((2*3)+1), ((2*p)+2),ââ,¬Â¦;(3*p), por lo tanto tenemos:

(6), (6+1), (6+2),ââ,¬Â¦(3*3), simplificando, (6), (7), (8),ââ,¬Â¦(9). Resumiendo, los puntos que podría obtenerse serían: 6, 7, 8 y 9.

Para que la suma total de puntos fuera 6, sólo hay una opción, tendría que haber 3 empates.

Para que la suma total de puntos fuera 7, una opción sería, que A tiene que ganar a B y empatar con C, B tiene que perder con A y empatar con C, y C tendría que empatar con A y con B.

Para que la suma fuera 8, una opción sería, que A tiene que ganar a B y perder con C, que B tiene que perder con A y empatar con C y que C tiene que perder con A y empatar con B.

Para que la suma fuera 9, una opicón sería, que A tiene que ganar a B y C, B tiene que perder con A y ganar a C, y C tiene que perder con A y B.

3.- Ã,¿Cuántas tablas de posiciones diferentes podrían obtenerse considerando sólo las posiciones relativas de los equipos?

Aplicando la fórmula: t= 1*2*3*ââ,¬Â¦*n ; se tiene: t = 1*2*3 = 6

Se obtendrían 6 tablas de posiciones diferentes:

Estas serían:

1.- A en1Ã,º, B en 2Ã,º y C en 3Ã,º
2.- A en 1Ã,º, B en 3Ã,º y C en 2Ã,º
3.- A en 2Ã,º, B en 1Ã,º y C en 3Ã,º
4.- A en 2Ã,º, B en 3Ã,º y C en 1Ã,º
5.- A en 3Ã,º, B en 2Ã,º y C en 1Ã,º
6.- A en 3Ã,º, B en 1Ã,º y C en 2Ã,º

4.- Ã,¿Cuántas combinaciones  de resultados (considerando todos los partidos) podrían darse?

Aplicando la fórmula c= 3 a la potencia p = 3 a la potencia 3 = 3*3*3 = 27

Se obtendrían 27 Resultados y estos serían:

1.- A gana a B y C, B pierde con A y gana a C, C pierde con A y B.
2.- A gana a B y C, B pierde con A y C, C pierde con A y gana a B.
3.- A gana a B y C, B pierde con A y empata con C, C pierde con A y empata con B.

4.- A gana a B y pierde con C, B pierde con A y gana a C, C gana a A y pierde con B.
5.- A gana a B y pierde con C, B pierde con A y C, C gana a A y B.
6.- A gana a B y pierde con C, B pierde con A y empata con C, C gana a A y empata con B

7.- A gana a B y empata con C, B pierde con A y gana a C, C empata con A y pierde con B.
8.- A gana a B y empata con C, B pierde con A y C, C empata con A y gana a B.
9.- A gana a B y empata con C, B pierde con A y empata con C, C empata con A y B.

10.- A pierde con B y gana a C, B gana a A y C, C pierde con A y B.
11.- A pierde con B y gana a C, B gana a A y pierde con C, C pierde con A y gana a B.
12.- A pierde con B y gana a C, B gana a A y empata con C, C pierde con y empata con B.

13.- A pierde con B y C, B gana a A y C, C gana a A y pierde con B.
14.- A pierde con B y C, B gana a A y pierde con C, C gana a A y B.
15.- A pierde con B y C, B gana a A y empata con C, C gana a A y empata con B.

16.- A pierde con B y empata con C, B gana a A y C, C empata con A y pierde con B
17.- A pierde con B y empata con C, B gana a A y pierde con C, C empata con A y gana a B.
18.- A pierde con B y empata con C, B gana a A y empata con C, C empata con A y B
19.- A empata con B y gana a C, B empata con A y gana a C, C pierde con A y B.
20.- A empata con B y gana a C, B empata con A y pierde con C, C pierde con A y gana a B.
21.- A empata con B y gana a C, B empata con A y C, C pierde con A y empata con B.

22.- A empata con B y pierde con C, B empata con A y gana a C, C gana a A y pierde con B.
23.- A empata con B y pierde con C, B empata con A y pierde con C, C gana a A y B.
24.- A empata con B y pierde con C, B empata con A y C, C gana a A y empata con B.

25.- A empata con B y C, B empata con A y gana a C, C empata con A y pierde con B.
26.- A empata con B y C, B empata con A y pierde con C, C empata con A y gana a B.
27.- A empata con B y C, B empata con A y C, C empata con A y B.

5.- Considerando el conjunto de n equipos, Ã,¿cuántos partidos disputará cada equipo?

Aplicando la fórmula pde = n -1 entonces:

pde = 3 ââ,¬â€œ 1 = 2

2 Partidos disputará cada equipo:

Los partidos que disputaría cada equipo serían:

A contra B y C; B cotra A y C; C contra A y B.

6.- Tras disputarse los p partidos, Ã,¿cuántas combinaciones de puntuaciones totales se obtendrían para cada equipo?

ce = 3 * pde

ce = 3 * 2 = 6, entonces cada equipo tiene 6 combinaciones de puntuación total.

7.- Ã,¿Cuál sería el puntaje total que NUNCA acumularía un equipos tras disputar sus pde partidos?

Aplicando la fórmula pn = (3 * pde) ââ,¬â€œ 1 tendríamos:

pn = (3 * 2) ââ,¬â€œ 1 = 6 ââ,¬â€œ 1 = 5. El puntaje que nunca acumularía un equipo sería de 5 puntos.

8.- Tomando como referencia la pregunta anterior, Ã,¿Cuáles serían entonces las diversas opciones de puntuación para cada equipo?

Aplicando la fórmula:

(3 * pde), ((3 * pde) ââ,¬â€œ 2), ((3 * pde) ââ,¬â€œ 3),ââ,¬Â¦, ((3 * pde) ââ,¬â€œ (3 * pde))

(3 * 2), ((3 * 2) ââ,¬â€œ 2), ((3 * 2) ââ,¬â€œ 3), ((3 * 2) ââ,¬â€œ 4), ((3 * 2) ââ,¬â€œ 5), ((3 * 2) ââ,¬â€œ (3 * 2))

Resolviendo:

(6), (4), (3), (2), (1), (0). Entonces los puntajes que podría obtener un equipo serían entonces:
0 Puntos: Perder sus 2 partidos
1 Punto: Empatar un partido y perder el otro
2 Puntos: Empatar sus 2 partidos
3 Puntos: Ganar un partido y perder el otro
4 Puntos: Ganar un partido y empatar el otro
6 Puntos: Ganar sus 2 partidos.

9.- Ã,¿Cuál sería el número de puntos con los que quedarían empatados los n equipos?

pee = n  y  pee2 = n ââ,¬â€œ 1

Para la primera opción de empate se aplica la fórmula:

pee = 3    y  pee2 = 3 ââ,¬â€œ 1 = 2.

Por lo tanto, las 2 opciones de puntuación con los quedarían empatados los 3 equipos serían de 3 puntos y 2 puntos.

1.- Para que los equipos quedarán empatados con 2 puntos la combinación de resultados sería:

A empata con B, B empata con C y C empata con A

2.- Para que los equipos quedarán empatados con 3 puntos, una combinación sería:

A gana a B, B gana a C, C gana a A.

Existen otra combinaciones pero caen en el mismo caso, en el que empatan lo equipos en 3 puntos.

DEJO UN PROBLEMA AÑADIDO A LoS ANTERIORES:

10.- Supóngase una combinación VALIDA de puntuaciones totales por equipo, Ã,¿Hallar una fórmula o método que permita encontrar la combinación de resultados posibles que producirían dichas puntuaciones?

Para ampliar la explicación del problema:

Tomando como ejemplo el de 3 equipos, una combinación válida de puntuaciones totales por equipo sería:

Puntos totales de A = 4 puntos
Puntos totales de B = 3 puntos
Puntos totales de C = 1 punto

La combinación de resultados que haría efectiva estas puntuaciones totales sería:

A gana a B, A empata con C, B gana a C.
...............

Perdón por todo este megamensaje....

Shin Jung Hyun.

[Sigfrid von Schrink]

Por más matemáticas que le pongas el fútbol sigue sin apasionarme...  :-D :-D :-D
_________________________
Escuchando:Oh! Darling, Abbey Road. The Beatles.

[Shin Jung Hyun]

Por más matemáticas que le pongas el fútbol sigue sin apasionarme...Ã,  :-D :-D :-D
_________________________
Escuchando:Oh! Darling, Abbey Road. The Beatles.

No, realmente mi mensaje no es para volverse apasionado por el fútbol, jejeje. Creo que a mí me resulta más emocionante como se aplican las matemáticas al fútbol. Aunque eso sí, el fútbol me gusta.